接下来计算根号x分之lnx的不定积分，同样可以使用分部积分法。计算第一项：u*v=(√x)^*x=x^计算第二项：∫vdu=∫[/2√x]dx对第二项再次使用分部积分法：设y=/2√x，dy=dx=dx将第二项表示为：∫[/2√x]dx选取u=/2√x，dv=dx根据分部积分法：∫udv=u*v-∫vdu，其中u*v是积分的乘积项，∫vdu是剩下的积分项。计算第一项：u*v=√x*2/3√x=2/3x计算第二项：∫vdu=∫1dx=x将计算结果代入公式：∫√xdx=2/3x-x+C2，其中C2为常数。
要计算x分之lnx的不定积分，我们可以使用分部积分法。
设y = ln x，dy = (1/x)dx
将x分之lnx的不定积分表示为:
∫(x^(-lnx))dx = ∫(e^lnx * x^(-lnx))dx = ∫(e^(lnx-lnx) * x^(-lnx))dx = ∫(x^(-lnx))dx
现在，选取u = x^(-lnx)，dv = dx
根据分部积分法：∫u dv = u*v - ∫v du，其中u*v是积分的乘积项，∫v du是剩下的积分项。
计算第一项：u*v = x^(-lnx) * x = x^(1-lnx)
计算第二项：∫v du = ∫ 1 dx = x
将计算结果代入公式：∫(x^(-lnx))dx = x^(1-lnx) - x + C ，其中C为常数。
接下来计算根号x分之lnx的不定积分，同样可以使用分部积分法。
设y = (√x)^(lnx)，dy = (1/2√x * lnx + √x/x)dx = (lnx*√x + 1)/2√x dx
将根号x分之lnx的不定积分表示为:
∫[(√x)^(lnx)]dx
选取u = (√x)^(lnx)，dv = dx
根据分部积分法：∫u dv = u*v - ∫v du，其中u*v是积分的乘积项，∫v du是剩下的积分项。
计算第一项：u*v = (√x)^(lnx) * x = x^(3/2-lnx)
计算第二项：∫v du = ∫[(lnx*√x + 1)/2√x]dx
对第二项再次使用分部积分法：
设y = (lnx*√x + 1)/2√x，dy = (1/2 * (1/x*√x + √x - lnx/√x ))dx = (1/2 * (1/x*√x + √x - lnx/√x ))dx
将第二项表示为：∫[(lnx*√x + 1)/2√x]dx
选取u = (lnx*√x + 1)/2√x，dv = dx
根据分部积分法：∫u dv = u*v - ∫v du，其中u*v是积分的乘积项，∫v du是剩下的积分项。
计算第一项：u*v = (lnx*√x + 1)/2√x * x = (lnx*√x + 1)/2
计算第二项：∫v du = ∫[(1/2 * (1/x*√x + √x - lnx/√x ))dx]
将计算结果代入公式：∫[(lnx*√x + 1)/2√x]dx = (lnx*√x + 1)/2 - (1/2)∫[(1/x*√x + √x - lnx/√x )]dx
继续计算第二项：∫[(1/2 * (1/x*√x + √x - lnx/√x ))dx]
= (1/2)∫(1/x*√x)dx + (1/2)∫√x dx - (1/2)∫(lnx/√x)dx
计算∫(1/x*√x)dx：
选取u = 1/x*√x，dv = dx
根据分部积分法：∫u dv = u*v - ∫v du，其中u*v是积分的乘积项，∫v du是剩下的积分项。
计算第一项：u*v = (1/x*√x) * x = 1/√x
计算第二项：∫v du = ∫ 1 dx = x
将计算结果代入公式：∫(1/x*√x)dx = 1/√x - x + C1，其中C1为常数。
计算∫√x dx：
选取u = √x，dv = dx
根据分部积分法：∫u dv = u*v - ∫v du，其中u*v是积分的乘积项，∫v du是剩下的积分项。
计算第一项：u*v = √x * 2/3√x = 2/3x
计算第二项：∫v du = ∫ 1 dx = x
将计算结果代入公式：∫√x dx = 2/3x - x + C2，其中C2为常数。
计算∫(lnx/√x)dx：
选取u = lnx/√x，dv = dx
根据分部积分法：∫u dv = u*v - ∫v du，其中u*v是积分的乘积项，∫v du是剩下的积分项。
计算第一项：u*v = (lnx/√x) * 2/3√x = 2/3lnx
计算第二项：∫v du = ∫ 1 dx = x
将计算结果代入公式：∫(lnx/√x)dx = 2/3lnx - x + C3，其中C3为常数。
将第二项结果代入公式：∫[(1/2 * (1/x*√x + √x - lnx/√x ))dx]
= (1/2) * ((1/√x - x + C1) + (2/3x - x + C2) - (2/3lnx - x + C3))
= (1/2) * (-1/√x + 2/3x - 2/3lnx + 3C - C1 + C2 + C3)
将计算结果代入公式：∫[(lnx*√x + 1)/2√x]dx = (lnx*√x + 1)/2 - (1/2) * (-1/√x + 2/3x - 2/3lnx + 3C - C1 + C2 + C3)
= (lnx*√x + 1)/2 + 1/2√x - 1/3x + 1/3lnx - 3C + C1 - C2 - C3 + C4，其中C4为常数。
综上所述，∫[(√x)^(lnx)]dx = (lnx*√x + 1)/2 + 1/2√x - 1/3x + 1/3lnx - 3C + C1 - C2 - C3 + C4
