根号x^2-1的不定积分（根号(1+x^2的不定积分）

使用代换t=x，那么dt=dx。根据勾股定理，我们有x^2-1=^2=t^2-1。这个积分是一个标准的积分，可以使用三角函数的积分公式来计算。∫sqrtdt=(1/2)*+C代入t=x，得到∫sqrtdx=(1/2)*+C因此根号x^2-1的不定积分是(1/2)*+C。

我们可以将根号x^2-1的不定积分拆分为两个部分来计算。

首先来计算根号(1+x^2)的不定积分。我们可以使用反三角函数来求解该积分。令t = x，那么dt = dx。

根据公式∫(1+x^2)^n dx = (1/2) * (x * (1+x^2)^n-1) + (2n-1)/(2n) * ∫(1+x^2)^(n-1) dx

我们令n = -1/2，代入公式中，得到∫(1+x^2)^(-1/2) dx = (1/2) * (x * (1+x^2)^(-1/2-1) + (2*(-1/2)-1) / (2*(-1/2))) * ∫(1+x^2)^(-1/2-1) dx

即∫(1+x^2)^(-1/2) dx = (1/2) * (x * (1+x^2)^(-3/2) - 1/2) * ∫(1+x^2)^(-1/2-1) dx

整理后得到∫(1+x^2)^(-1/2) dx = (1/2) * arcsin(x) + C

接下来我们来计算根号x^2-1的不定积分。使用代换t = x，那么dt = dx。

根据勾股定理，我们有x^2 - 1 = (sqrt(x^2-1))^2 = t^2 - 1。

因此∫sqrt(x^2-1) dx = ∫sqrt(t^2-1) dt。

这个积分是一个标准的积分，可以使用三角函数的积分公式来计算。

∫sqrt(t^2-1) dt = (1/2) * (t * sqrt(t^2-1) + arcsin(t)) + C

代入t = x，得到∫sqrt(x^2-1) dx = (1/2) * (x * sqrt(x^2-1) + arcsin(x)) + C

因此根号x^2-1的不定积分是(1/2) * (x * sqrt(x^2-1) + arcsin(x)) + C。